Математическое программирование при оценке давности наступления смерти в условиях линейно изменяющейся внешней температуры

Термометрическое определение давности наступления смерти (ДНС) является одной из старейших задач судебной медицины, которая по-прежнему сохраняет актуальность. К настоящему времени разные варианты решения этой проблемы достигаются путем широкого использования разнообразных математических методов [1, 2], из которых к числу наиболее активно развивающихся следует отнести моделирование посмертного теплообмена [3—7], а также методы, основанные на машинном обучении (нейронные сети, метод опорных векторов) [8, 9].

Одним из перспективных направлений, используемым для термометрической оценки ДНС, является нелинейное программирование (НП), представляющее собой раздел математического программирования, разрабатывающий численные методы решения многомерных задач нелинейной оптимизации [10]. Основная идея НП при определении ДНС заключается в нахождении параметров феноменологического закона охлаждения Marshall—Hoare, опираясь не на моделирование эффекта внешних факторов, а путем математической конкретизации процесса охлаждения в данных уникальных условиях на основе динамической термометрии трупа.

Впервые НП в целях определения ДНС было применено коллективом немецких исследователей в ситуации отсутствия информации о начальном и граничном условиях охлаждения трупа [11]. Пытаясь решить задачу одновременного установления ДНС, начальной температуры тела и температуры внешней среды, группа G. Mall была вынуждена использовать значения констант уравнения Marshall—Hoare, установленные методом C. Henssge. По этой причине разработанный указанными авторами алгоритм позволил уточнить краевые условия охлаждения, но не достиг главной цели НП — индивидуализации констант уравнения Marshall—Hoare.

Данный недостаток был устранен австралийским математиком M. Rodrigo, разработавшим целевую функцию с константами уравнения Marshall—Hoare в качестве неизвестных и способ нахождения вектора начальных условий [12]. Однако из-за допущений, принятых при нахождении оценок последнего, метод M. Rodrigo, эффективность которого, как и других алгоритмов нелинейной минимизации, сильно зависела от выбора начальной точки итерационного поиска, оказался полезен лишь при длине посмертного интервала 2—4 ч. В силу изложенного, а также своей трудоемкости и отсутствия программной реализации метод нелинейной оптимизации M. Rodrigo применения в практической экспертной деятельности не нашел. Однако заложенные в нем идеи были развиты в дальнейших исследованиях.

В новейшей модификации метод НП заключается в составлении на основе уравнения Marshall—Hoare системы нелинейных уравнений (СНУ), отражающей динамику двукратной термометрии ядра трупа, с последующим ее преобразованием в неотрицательную целевую функцию двух переменных, минимальное значение которой, равное нулю, достигается в точке, являющейся решением СНУ [13]. В подобной постановке задача нелинейной оптимизации сводится к нахождению точки глобального минимума полученной целевой функции, абсцисса которой представляет собой искомое значение ДНС.

НП позволяет путем двукратной термометрии учесть в рамках закона Marshall—Hoare уникальность условий охлаждения трупа и с помощью соответствующего онлайн-приложения находить оценки ДНС, точность которых обусловлена практически только величиной погрешностей, допущенных в ходе измерений температуры трупа и внешней среды [13]. Однако, поскольку исходное уравнение Marshall—Hoare корректно только при условии постоянства внешней температуры, то и основанный на нем метод НП наследует указанное ограничение при своем практическом использовании.

Расширить область применения НП можно, положив в его основу иное феноменологическое уравнение охлаждения трупа, которое сохраняет свою корректность при изменениях внешней температуры. Таким свойством, в частности, обладает обобщение закона охлаждения Marshall—Hoare на случай линейно изменяющейся внешней температуры, представляющее собой трансцендентное уравнение:

(1)

где Т — температура ядра трупа (°C); Т_а — температура внешней среды (°C); β — скорость изменения внешней температуры (°C/ч); Т₀ — начальная температура тела в диагностической точке (°C); k — постоянная охлаждения (ч⁻¹); p — постоянная температурного плато (ч⁻¹); t — ДНС (ч) [14]. Подобное, протекающее с постоянной скоростью, повышение или понижение внешнего температурного режима является наиболее актуальным для судебно-медицинской экспертной практики типовым изменением внешней температуры, систематически наблюдаемым в течение первой половины светового дня и в вечернее время.

Цель исследования — разработка и реализация в формате онлайн-приложения основанного на НП метода определения ДНС и предельных ошибок ее оценок в условиях линейно изменяющейся внешней температуры.

Методологический дизайн исследования представлял собой нахождение методом НП точки глобального минимума целевой функции, полученной из СНУ, которая составлена на основе уравнения (1) для двукратной термометрии трупа в условиях линейно изменяющейся внешней температуры.

Пределы суммарного влияния метрологических погрешностей на оценки ДНС определяли путем повторения алгоритма НП для всех сочетаний предельных абсолютных погрешностей результатов измерений каждого из 5 исходных показателей температуры и времени с последующим выбором из полученного множества оценок ДНС их экстремумов. Погрешность почасовой скорости изменения внешней температуры в расчетах задавали равной нулю.

Валидацию разработанного метода НП выполняли путем сравнения его решений с массивом оценок ДНС, генерированных с помощью уравнения (1) при разных сценариях охлаждения, приняв предложенные C. Henssge линейные зависимости константы температурного плато от константы охлаждения [15, 16], для ректальной температуры имеющие вид:

p=5k при T_a≤23,2 °C, (2)

p=10k при T_a>23,2 °C, (3)

а для краниоэнцефальной:

p≈8,425k (4)

В процессе валидации метода НП применительно к ректальной термометрии для соблюдения условий (2) и (3) внешняя температура в течение всего периода охлаждения трупа не превышала 23,2 °C в случае ее роста либо не опускалась до 23,2 °C при ее понижении. Решения уравнения (1) для тестовых выборок находили методом хорд [14].

Валидацию предельных интервалов для оценок ДНС выполняли методом вычислительного эксперимента.

Разработанный алгоритм определения ДНС реализовывали в формате онлайн-приложения, код которого составляли на языке Python 3.

Описанием двукратной термометрии ядра трупа, выполненным на базе уравнения (1) с учетом пропорций (2) — (4), является СНУ:

, (5)

где (t, k) — вектор неизвестных значений ДНС и константы охлаждения, а

где T₁ и T₂ — результаты первой и повторной термометрии трупа (°C), а Δt — промежуток времени между ними (ч).

Решение СНУ (5) может быть найдено методом минимизации полученной из нее неотрицательной целевой функции:

, (6)

где i=1, 2 — подстрочный индекс, обозначающий номер уравнения СНУ (5).

Однако поверхность целевой функции (6) характеризовалась наличием множества локальных минимумов, вследствие чего однократный запуск любого доступного итеративного алгоритма оптимизации обеспечивал нахождение лишь минимума, расположенного в окрестности начальной точки и зачастую не являвшегося глобальным.

В процессе валидации было установлено, что наиболее эффективно нахождение глобального минимума целевой функции (6) достигается с помощью гибридного итеративного алгоритма (Powell’s dog leg method) из открытой математической библиотеки MINPACK [17, 18]. Причем данный алгоритм оптимизации должен быть выполнен для дискретного множества начальных точек, координаты которых определяются ранее сформулированным правилом: абсцисса, соответствующая ДНС, всегда равна 1 ч, а ордината, соответствующая константе охлаждения, устанавливается перебором значений на интервале (0, 1) с шагом, равным 0,01 ч⁻¹ [13]. Из полученного множества локальных минимумов затем выбирается глобальный путем сравнения значений целевой функции, а также исключения точек с координатами, не удовлетворяющими условиям:

k < 0,1 ч^-1 и t < 48 ч. (7)

Компьютерное моделирование влияния метрологических ошибок на вычислительные оценки изложенного алгоритма показало, что при линейно изменяющейся внешней температуре максимальные ошибки оценок ДНС по-прежнему достигаются в граничных точках при определенных сочетаниях предельных измерительных погрешностей. Это позволило находить пределы неопределенности оценок ДНС путем повторения изложенного алгоритма нелинейной оптимизации для всех сочетаний результатов измерений температуры и времени с их предельными абсолютными погрешностями и последующего выбора из полученного множества оценок ДНС их экстремумов.

Изложенный алгоритм определения ДНС в условиях линейно изменяющейся температуры с включенным в него автономным модулем из библиотеки MINPACK был реализован в формате онлайн-приложения Warm Bodies Z 2 (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024614352), доступного по URL-адресу: https://forenscalc.ru/zcalc-2. Помимо вывода вычислительных оценок ДНС и их абсолютных пределов, приложение строит график внешней температуры и охлаждения ядра тела от момента наступления смерти до первой термометрии трупа.

В ходе осмотра трупа было проведено два измерения ректальной температуры с промежутком времени между ними 48 мин (0,8 ч). Ректальная температура трупа при первом измерении составила 33,13 °C, при повторном — 32,47 °C. Температура воздуха на уровне тела на момент его первой термометрии равнялась 5,00 °C, при этом в предшествующую началу осмотра треть суток внешняя температура повышалась со скоростью 0,75 °C/ч. Инструментальная погрешность средств измерения ректальной и внешней температуры составила 0,01 °C. Необходимо определить ДНС, приняв начальную температуру тела равной 37,2 °C с возможностью отклонения от нее не более чем на 0,3 °C, а погрешность измерения интервала времени между первой и повторной термометриями трупа — равной нулю.

Согласно изложенному алгоритму поиска решения вектор неизвестных значений ДНС и константы охлаждения для СНУ (5) равен

(t, k)=(7,018381604; 0,040476428).

Таким образом, ДНС на момент первой термометрии трупа при заданных условиях составляет 7,018 ч. Без учета линейного внешнего температурного тренда оценка ДНС равнялась бы 7,496 ч, а ее относительная ошибка составила бы 6,8 % (см. рисунок).

Графики ректальной и внешней температур от момента наступления смерти до первой термометрии трупа для данных из примера.

1 — ректальная термограмма с учетом линейного роста внешней температуры; 2 — ректальная термограмма без учета изменений внешней температуры; 3 — внешняя температура.

Валидность метода в рассматриваемом примере легко проверить, определив ДНС согласно уравнению (1) на моменты первой и повторной термометрии трупа. Для этого следует подставить в уравнение (1) найденное индивидуальное значение константы охлаждения и связанное с ним пропорцией (2) значение константы температурного плато, не забывая, что внешняя температура за промежуток времени Δt увеличилась до 5,6 °C.

Методом хорд находим, что ДНС на момент первой термометрии составляет 7,018381604, а на момент повторной – 7,818381604 ч. Следовательно, промежуток времени Δt между ними равен 0,8 ч, а решение СНУ (5) верное.

Максимальный и минимальный пределы ДНС в данном случае достигаются при следующих сочетаниях измерительных ошибок:

{T₁=33,12; T₂=32,48; T_a=4,99; T₀=37,5},

{T₁=33,14; T₂=32,46; T_a=5,01; T₀=36,9}.

Для указанных сочетаний глобальными минимумами целевой функции (5) являются точки с координатами

(t, k)=(7,644595877; 0,038652661955173515),

(t, k)=(6,416689419; 0,04241918704567836).

Отсюда в рассматриваемом примере ДНС при заданных абсолютных погрешностях на момент первой термометрии трупа может находиться в пределах 6,417—7,645 ч.

Линейное повышение или понижение внешней температуры представляет собой один из типовых вариантов ее возможных изменений, протекающий с постоянной скоростью и обладающий вследствие этого благоприятными свойствами в плане математического моделирования. При осмотрах трупов вне помещений с постоянно поддерживаемыми микроклиматическими параметрами линейные изменения внешней температуры встречаются наиболее часто, поскольку систематически наблюдаются дважды в сутки: в первой половине светового дня и в его конце, а также в течение нескольких часов после заката.

Разработанный метод математического программирования путем двукратной ректальной или краниоэнцефальной термометрии позволяет определять ДНС при линейных изменениях внешней температуры. Метод учитывает уникальность охлаждения трупа, благодаря чему неточность его вычислительных оценок, принимая во внимание пренебрежимо малую величину ошибок, вызванных алгоритмом оптимизации и ограничениями разрядной сетки ЭВМ, объясняется практически только наличием метрологических погрешностей и может быть сделана сколько угодно малой при стремлении последних к нулю.

Кроме того, повторная термометрия мертвого тела избавляет от необходимости измерения его массы или площади поверхности, а сам метод НП характеризуется отсутствием каких-либо противопоказаний к использованию за исключением изменений условий охлаждения трупа и техники его динамической термометрии, а также нескольких ограничений вычислительного характера.

Первое из указанных ограничений предусматривает запрет запуска вычислительного алгоритма для данных ректальной термометрии, если линейный тренд внешней температуры в процессе охлаждения трупа мог пересечь отметку в 23,2 °C. Подобные ситуации возможны в двух случаях: 1) внешняя температура на момент первой ректальной термометрии больше 23,2 °C при наличии ее положительного тренда; 2) внешняя температура на момент первой ректальной термометрии меньше или равна 23,2 °C при предшествующем ее отрицательном тренде. Наложение указанного ограничения объясняется наличием зависимости вида задаваемых в СНУ (5) взаимосвязей (2) и (3) констант температурного плато и охлаждения от внешней температуры [13, 15, 16].

Следующее ограничение связано с тем, что поверхность целевой функции (6) содержит в сотни раз больше допустимых решений по сравнению с поверхностью аналогичной функции при постоянной внешней температуре [13]. По этой причине в некоторых случаях, в частности при несоответствии координат точки локального минимума условиям (7), запуск вычислительного алгоритма не позволяет найти искомое оптимальное решение среди множества допустимых. В подобных ситуациях код приложения Warm Bodies Z 2 предусматривает вывод предупреждения о невозможности решения задачи нелинейной оптимизации для введенных данных.

Также из-за использования в процессе вычислений пропорций (2)—(4) НП пока применимо только для данных ректальной и краниоэнцефальной термометрии. Однако в будущем, после выяснения локальной специфики взаимосвязей констант охлаждения и температурного плато, названный подход может быть востребован для температурных данных, полученных и в других диагностических точках.

1. Предложен метод НП, позволяющий определять ДНС в условиях линейно изменяющейся внешней температуры путем двукратной ректальной или краниоэнцефальной термометрии трупа.

2. Метод НП конкретизирует уникальность процесса охлаждения трупа, благодаря чему неточность получаемых оценок ДНС обусловлена практически только наличием метрологических погрешностей и может быть вычислена при наличии информации о величине последних.

3. Разработанный алгоритм НП, учитывающий возможные вычислительные ограничения, реализован в формате онлайн-приложения Warm Bodies Z 2.

4. Предложенный метод НП и реализующее его онлайн-приложение рекомендуются для термометрического определения ДНС в судебно-медицинской экспертной практике.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.