Численный метод решения двойных экспоненциальных моделей охлаждения трупа при установлении давности наступления смерти

Термометрический метод определения давности наступления смерти (ДНС) характеризуется большим разнообразием реализующих его математических моделей, отличающихся по своей структуре и количеству учитываемых ими условий охлаждения мертвых тел [1—3]. Несмотря на значительные успехи, достигнутые за последние два десятилетия, наиболее популярным типом математических моделей, которым пользуются для термометрического установления ДНС, остаются двойные экспоненциальные модели (ДЭМ) охлаждения трупа. Первая математическая модель этого семейства предложена T. Marshall и F. Hoare [4]. Она имела вид:

(1)

где T — ректальная температура, °C; T_a — температура внешней среды, °C; T₀ — начальная температура в момент наступления смерти человека, °C; k — постоянная охлаждения, являющаяся функцией от массы тела; p — постоянная температурного плато, равная 0,4; t — ДНС, ч.

Работа по экспериментальному установлению значений констант ДЭМ охлаждения трупа была проведена и другими исследователями. Из предложенных вариантов наибольшую известность и практическое распространение получили аппроксимации немецкого исследователя C. Henssge [5]. В соответствии с модификациями C. Henssge начальная ректальная температура принимается равной 37,2 °C, а значения констант определяются следующим образом:

k=0,0284–1,2815(f´M)^–0,625, (2)

где f — корректирующий фактор, принимающий значения от 0,35 до 2,8 в условиях термически индифферентного ложа трупа; M — масса тела, кг;

p=5k при T_a<23,2 °C;

p=10k при T_a>23,2 °C.

С учетом указанных изменений модель (1) Marshall—Hoare в модификации C. Henssge принимает следующий вид:

для T_a<23,2 °C, (3)

для T_a>23,2 °C. (4)

Еще одно уравнение из семейства ДЭМ предложили C. Henssge и B. Maeda [6] для описания посмертной динамики краниоэнцефальной температуры:

(5)

где T — краниоэнцефальная температура, °C.

По своей структуре ДЭМ охлаждения трупа представляют собой неявные функции. Это означает, что показатель ДНС в них задан неявно; более того, не существует математического способа выведения его в явном виде. Данное обстоятельство препятствовало применению ДЭМ на практике. Тогда C. Henssge [5, 6] разработал ряд специальных номограмм с фиксированным значением начальной температуры тела. Широкое распространение персональных компьютеров и смартфонов позволяет решать задачи определения ДНС с помощью прикладных программ для ЭВМ.

Одно из первых онлайн-приложений, реализующих метод Henssge, предназначенный для измерения ректальной температуры, предложил швейцарский судебный медик W. Schweitzer [7]. Это приложение получило высокую оценку в профессиональной среде [8]. Большое количество полученных откликов побудило W. Schweitzer и M. Thali [7] опубликовать модель выполняемых данной программой расчетов ДНС. Выяснилось, что данное приложение и другие программные версии ДЭМ написаны без использования специальных математических методов решения неявных функций. В частности, указанные программы содержат конечный набор решений уравнений Henssge, вследствие чего эти приложения находят ДНС только для дискретных значений температуры и массы с шагом величиной 0,1 °C и 1 кг, часто только на ограниченной области определения, соответствующей таковой у номограмм Henssge. Это вынуждает пользователей округлять данные термометрии и взвешивания, что привносит значительную дополнительную погрешность в итоговый результат ДНС [7, 9]. Вместе с тем решение ДЭМ, как и моделей охлаждения, основанных на краевой задаче теплопроводности, может быть найдено на основе численных математических методов [10]. Применение численных методов требует наличия познаний в области математического анализа и вычислительной математики. В связи с этим их разработка и последующее практическое использование предполагают обязательную реализацию в формате компьютерных программ.

Цель работы — разработка численного метода решения ДЭМ охлаждения трупа и создание на его основе прикладных программ, предназначенных для определения ДНС.

Поиск корней неявных функций осуществляли по методу касательных Ньютона. Математические выражения выводили с использованием приложения Wolfram|Alpha. Вычисления производили с помощью приложений Microsoft Excel пакета Office 2016. Код программы для ЭВМ составляли на языке программирования C# с использованием приложения Microsoft Visual Studio 2019.

Все представители семейства ДЭМ являются дифференцируемыми функциями, поэтому в качестве численного метода поиска их корней выбрали метод касательных Ньютона. Данный итерационный метод нахождения корня функции f(t)=0 описывается формулой:

(6)

Следует пояснить, что корнем функции f(t)=0 называется такое значение t, подстановка которого в уравнение обращает его в равенство, т.е. в нуль.

Для использования метода касательных Ньютона следует уравнения (3) — (5) привести к виду f(t)=0, перенеся отношение дифференциальных температур в правую часть уравнений. Тогда частные производные полученных функций равны:

(7)

(8)

(9)

После этого метод касательных Ньютона реализуется по формуле (6). Метод Ньютона имеет высокую скорость сходимости, с его помощью приближенное значение корня ДЭМ с точностью до 8 знаков в его дробной части может быть найдено всего за 3 итерации.

Пример

Труп без одежды обнаружен в помещении с постоянной температурой воздуха 16,95 °C. Масса трупа 100,1 кг. Ректальная температура 35,27 °C. Необходимо определить ДНС по методу Henssge.

В данном случае T_a<23,2 °C, поэтому ДНС следует определять с помощью функции (3), частная производная которой равна (7). Положим, что t₀=1 ч. Дальнейшие вычисления представлены в таблице. Согласно таблице, решением функции (3) при заданных условиях охлаждения трупа является ДНС, равная 5,626184339 ч (5 ч 37,6 мин). Программа W. Schweitzer при расчетах вместо заданных условий охлаждения использует их округления до 16,0 и 30,2 °C и 100 кг, вычисляя ДНС с относительной ошибкой 5%.

Итоги вычислений по методу касательных Ньютона

Results of calculations using the Newton tangent method

Важно, что результат метода зависит от выбора t₀. В приведенном примере метод не сходится при t₀<0,5 ч из-за слишком большого значения t₁ на следующей итерации. Для обеспечения сходимости метода при любых значениях t₀ частные производные (7) — (9) были уменьшены на константу:

Данная модификация увеличивает число итераций, необходимых для обеспечения такой же точности, однако обеспечивает сходимость метода касательных Ньютона практически при любых значениях t₀. Так, в приведенном примере аналогичная точность решения при t₀=0,000001 достигается за 50 итераций.

Изложенный численный метод поиска корней ДЭМ охлаждения трупа реализован в серии переносимых прикладных программ Warm Bodies, функционирующих в операционной среде Windows. В настоящее время эта серия включает три приложения. Одно из них — приложение Warm Bodies HR (свидетельство о государственной регистрации №2021612195) предназначено для определения ДНС на основе уравнений (3) — (5) Henssge. Второе приложение Warm Bodies MHR (свидетельство о государственной регистрации №2021612006) определяет ДНС на основе классической модели (1) Marshall—Hoare. Третье приложение Warm Bodies NRN (свидетельство о государственной регистрации №2021611972) определяет ДНС в условиях постоянной и изменяющейся температуры окружающей среды на основе закона охлаждения Ньютона—Рихмана.

Благодаря методу касательных Ньютона приложения серии Warm Bodies обеспечивают континуальный характер исходных данных, устраняя тем самым погрешности определения ДНС, возникающие за счет их округлений. Приложения не требуют процедуры установки, запускать их можно со съемных носителей информации, в том числе и при отсутствии прав администратора. В настоящее время все прикладные программы, созданные на кафедре судебной медицины Самарского государственного медицинского университета, и программы серии Warm Bodies доступны обучающимся по программам ординатуры и дополнительного профессионального образования в электронно-информационной образовательной среде университета.

1. Предложено осуществлять поиск решений ДЭМ охлаждения трупа на основе метода касательных Ньютона. Использование этого численного метода обеспечивает континуальный характер исходных данных и устраняет погрешности, связанные с необходимостью округлять входящие в состав ДЭМ прямо измеряемые физические величины (температура трупа и внешней среды, масса трупа).

2. Предложенный метод в модифицированном виде реализован в серии прикладных программ Warm Bodies, предназначенных для определения ДНС путем измерения ректальной или краниоэнцефальной температуры на основе уравнений Marshall—Hoare и Henssge.

3. Созданные программы для ЭВМ рекомендуется использовать в судебно-медицинской экспертной практике для определения ДНС.

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

The author declare no conflicts of interest.