Установление давности наступления смерти (ДНС) было и остается одной из ключевых проблем судебной медицины [1—3]. В настоящее время при решении вопроса о ДНС исследователи все чаще применяют системный подход, используя методы математического моделирования различных посмертных процессов [4, 5]. Разработка методов математического моделирования направлена на поиск оптимальных математических моделей, описывающих посмертные процессы, и способов реализации их в диагностике ДНС [4].

При кажущейся надежности использования подходов математического моделирования возможны некоторые сложности. Так, при построении и изучении математических моделей используют различные зависимости между исходными и полученными величинами, применяя для этого интерполяцию, регрессию и экстраполяцию, которые не только существенно помогают исследованию, но могут также оказаться и источником ошибок. Наиболее грубые ошибки интерполяции возникают при подборе эмпирической формулы по данным измерения. При выборе вида функции (многочлен, степенная функция, экспонента и т.д.), описывающей тот или иной посмертный процесс, опираются на теоретическое обсуждение различных свойств изучаемой зависимости, при этом применяемый метод должен быть защищен от возможных ошибок измерения.

Среди подходов математического моделирования, направленных на диагностику ДНС, различают аналитические и алгоритмические, которые в большинстве случаев разрабатывают на основе анализа процесса посмертного охлаждения тела, так как математические закономерности других процессов, происходящих в мертвом теле, на сегодняшний день практически не изучены [4]. Закономерность изменений, происходящих в стекловидном теле глаза человека в различные сроки посмертного периода, не вызывает сомнений [2, 6].

Цель настоящего исследования — разработка оптимальной математической модели, отображающей процесс посмертных изменений в стекловидном теле, регистрируемых методом спиновых зондов электронно-парамагнитного резонанса (ЭПР).

Данный метод имеет ряд преимуществ:

— существует хорошо отработанная методика количественной регистрации, позволяющая фиксировать динамику процесса через определенные промежутки времени;

— на закономерность изменений данного процесса не влияют экзогенные и эндогенные факторы, а также возраст умерших.

Для достижения поставленной цели были проанализированы показатели скорости реакции восстановления спинового зонда в стекловидном теле глаз в течение 30 сут посмертного периода. Полученные результаты показали, что значения скорости реакции восстановления спинового зонда с 12-х по 30-е сутки посмертного периода достоверно не различаются между собой. Следовательно, возможность использования данного метода ограничивается первыми 12 сутками посмертного периода.

Для создания математической модели мы использовали пакеты математических программ Mathcad 14.0 и Mathematiсa 7, широко применяемых на практике для решения подобных задач.

В качестве математической модели выбрано приближение многочленом, который не проходит через значения, полученные в результате эксперимента, а является усредненным на основе метода наименьших квадратов, так называемая регрессия.

Для этой цели из пакета Mathcad 14.0 была выбрана функция regress, а из пакета Mathematica 7 — функция Fit, с помощью которых получили полиномиальные приближения от 3-й до 7-й степени. При этом многочлены, полученные с помощью функции regress, мы обозначили как P_n, а полученные с помощью функции Fit — Q_n.

В экспериментах показатели скорости реакции восстановления спиновых зондов регистрировали ежедневно на протяжении 12 дней, в связи с чем переменная x (время) принимала значения от 1 до 12.

Результаты эксперимента рассматривали как координаты 12-мерного вектора Е.

Погрешность приближения оценивали по формуле:

где координаты вектора А = {а₁, а₂,…а₁₂} являются значениями полученного приближения в моменты времени (дни) x = 1, 2,…12, а

При расчете среднеквадратичной погрешности (δ) для приближений, полученных с помощью указанных выше программ, были получены результаты, представленные в табл. 1.

Как это следует из табл. 1, среднеквадратичная погрешность для приближения P₃ и P₄ незначительно отличается от среднеквадратичной погрешности приближений Q₃ и Q₄, а для регрессий 5-й степени P₅ и Q₅ отличия становятся заметными. Таким образом, среднеквадратичная погрешность для приближений 4-й и 5-й степени не опускается ниже 0,04—0,05, что соответствует 4 и 5% при использовании как пакета программ Mathcad 14.0, так и пакета программ Mathematica 7. Для приближений 6-й и 7-й степени, полученных с помощью пакета Mathcad 14.0, погрешность оказывается недопустимо высокой, достигая значений 4,48 и 2,503 (448 и 250%) соответственно. В то же время приближения 6-й и 7-й степени, полученные с помощью пакета Mathematica 7, дают одинаковую, вполне допустимую погрешность 0,032 (около 3%). Это является следствием того, что при построении полиноминальной регрессии с использованием пакета программ Mathcad 14.0 не всегда допустимо использовать многочлены со степенями n>5.

Следовательно, при выборе математической модели изучаемого процесса, а также пакетов математических программ, следует всегда учитывать границы их применимости.

Изложенное выше свидетельствует о нецелесообразности применения на практике многочленов 6-й и 7-й степени, полученных с помощью программы Mathcad 14.0, в связи с их высокой погрешностью.

Для проверки достоверности полученных результатов в отношении многочлена 5-й степени весь исследуемый временной период был разделен на три одинаковых временных интервала. Для каждого из временных интервалов рассчитывали «дифференциальную» среднеквадратичную погрешность (δ_i). В интервале 1—4-е сутки δ_i составила 0,033 (≈3%), что вполне допустимо. В следующем временном интервале (5—8-е сутки) отмечено увеличение значения δ_i до 0,067 (≈7%), которое в последующем (9—12-е сутки) становится еще больше и принимает недопустимые значения — 0,375 (37%). Следовательно, многочлен 5-й степени, полученный с использованием программы Mathcad 14.0 , также не подходит для применения на практике.

Возникла необходимость проверить многочлен той же степени, полученный с помощью программы Mathematica 7. При расчете δ_i для Q₅ в интервале 9—12-е сутки погрешность оказалась недопустимо велика — δ_i=0,207 (≈21%), в связи с чем использовать многочлен Q₅ в практических целях не рекомендуется.

Выявлена определенная закономерность в изменении погрешностей регрессий, полученных с помощью программы Mathematica 7: с увеличением степени многочлена погрешность уменьшается.

При проверке многочленов 6-й и 7-й степени, полученных с помощью программы Mathematica 7 в обозначенных временных интервалах, погрешность составляет не более 5%, что соответствует допустимым пределам.

Таким образом, наилучший результат показывают приближения, полученные многочленами Q₆ и Q₇. При одинаковой «интегральной» относительной погрешности δ, равной 0,032 (≈3%), обе регрессии имеют практически одинаковую «дифференциальную» погрешность на отрезках 1—4-х суток — 0,02 (2%) и 5—8-х суток — 0,05 (5%), незначительно отличающуюся лишь на последнем временном отрезке (9—12-е сутки), составляя для Q₆ 0,05 (5%), а для Q₇ 0,04 (4%).

Обе эти регрессии обладают хорошей точностью и могут быть использованы в судебно-медицинской практике для диагностики ДНС, однако поскольку с увеличением степени многочлена усложняется процесс расчета данных, для практического применения наиболее рационально использовать многочлен 6-й степени — Q₆.

Определившись со степенью многочлена, необходимо проверить достоверность полученных с его помощью данных. В качестве примера для определения точности полученных математических моделей сравнивали теоретически рассчитанные показатели многочлена Q₆ с экспериментальными показателями средних величин скорости реакции восстановления спинового зонда (обозначив его К), полученных с 1-х по 12-е сутки посмертного периода.

Как следует из табл. 2,

Для установления адекватности выбранной математической модели и возможности применения ее на практике провели посуточное сравнение полученных результатов.

Проведенный анализ показал, что существует статистически достоверная разница на всех исследованных временных интервалах экспериментальных данных (p<0,05) за исключением 1—2-х суток (p>0,05) и 10—11-х суток (p>0,05).

1. При использовании математических моделей, описывающих тот или иной посмертный процесс, необходимо оценивать целесообразность выбора как пакетов математических программ, так и самих полученных моделей.

2. Оптимальной математической моделью, отображающей процесс посмертных изменений в стекловидном теле, регистрируемых методом спиновых зондов ЭПР, является модель, построенная с использованием пакета программ Mathematica 7 на основе регрессии с помощью многочленов 6-й и 7-й степени.

3. Определение ДНС в позднем посмертном периоде с помощью математической модели, построенной с использованием пакета программ Mathematica 7 на основе регрессии с помощью многочленов 6-й и 7-й степени, возможно, со 2-х по 10-е сутки посмертного периода с точностью до 24 ч.