Шалва Шалвович Элиава родился 27 февраля 1953 г. в городе Кутаиси. Его отец был военный хирург, а мать — врач-психиатр. Ш.Ш. Элиава окончил Тбилисский государственный медицинский институт в 1976 г. С 1976 по 1980 г. работал врачом-ординатором в нейрохирургическом отделении Института неврологии Тбилиси. Одновременно (1976—1980) обучался на вечернем отделении английского факультета Тбилисского государственного института иностранных языков.
С 1980 по 1982 г. Шалва Шалвович проходил стажировку на рабочем месте в сосудистом отделении НИИ нейрохирургии им. акад. Н.Н. Бурденко. В 1982 г. он поступил в аспирантуру и в 1985 г. под руководством проф. Ю.М. Филатова защитил кандидатскую диссертацию на тему «Клиника, диагностика, микрохирургическое лечение артериовенозной мальформации задней черепной ямки».
Докторскую диссертацию по теме «Артериовенозные мальформации глубинных структур: клиника, диагностика и хирургическое лечение» Ш.Ш. Элиава защитил в 1992 г.
В 1992—1994 гг. он работал врачом-нейрохирургом в клинике г. Эрланген (Германия). После возвращения в Россию Шалва Шалвович продолжил свою научную и клиническую карьеру в НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко.
Первого декабря 2009 г. приказом директора НИИ нейрохирургии акад. А.Н. Коновалова он назначен заведующим третьим клиническим (сосудистым) отделением.
Ш.Ш. Элиава — высококвалифицированный специалист-нейрохирург, выполняющий все виды наиболее сложных операций при сосудистой и онкологической патологии головного мозга.
Область основной научной деятельности проф. Ш.Ш. Элиава — вопросы цереброваскулярной патологии. Он является председателем проблемной комиссии по хирургическому лечению патологии сосудов головного мозга, членом Московского общества нейрохирургов, Европейской и Всемирной организаций нейрохирургических обществ (EANS, WFNS).
Большое научное и практическое значение имеют его исследования, направленные на изучение, разработку и внедрение в клиническую практику различных методов микрохирургических вмешательств при артериовенозных мальформациях головного мозга. В частности, на основании лабораторного изучения сосудистых глубинных анастомозов головного мозга им предложены оригинальные доступы для удаления глубинных мальформаций. За счет минимальной травматичности данные хирургические подходы позволяют достигать у пациентов наилучших функциональных исходов.
Проф. Ш.Ш. Элиава внедрил в клиническую практику отечественной нейрохирургии методику внутрисосудистой аспирации крови в хирургии крупных и гигантских аневризм. Благодаря усовершенствованию данной методики стало возможным радикально выключать из кровотока большинство крупных и гигантских аневризм внутренних сонных и средних мозговых артерий, которые до этого зачастую признавались неоперабельными. На сегодняшний день в НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко накоплен самый большой в мировой практике опыт операций (более 150 пациентов) с использованием внутрисосудистой аспирации крови.
Ш.Ш. Элиава опубликовал более 120 научных работ в отечественной и зарубежной печати. Он является соавтором одного патента (№2269315) и одного приоритета на изобретение (№2007105300).
Исключительное внимание проф. Ш.Ш. Элиава уделяет не только разработке и внедрению новых методов лечения нейрохирургических больных, но и педагогической деятельности: проводит ежегодные занятия с клиническими ординаторами, аспирантами, врачами на рабочих местах и стажерами института. Под его руководством защищено 12 кандидатских диссертаций и выполнено более 40 плановых научных тем НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко. Ученики Шалвы Шалвовича работают не только в Институте нейрохирургии, но и в ведущих клиниках России, Европы и США.
Проф. Ш.Ш. Элиава является постоянным участником и председателем многих отечественных и зарубежных конгрессов по нейрохирургии. Под его руководством организована крупнейшая международная конференция «Vascular Expertes-2009», которая собрала ведущих мировых специалистов.
В 2012 г. проф. Шалве Шалвовичу Элиава вручена национальная премия «Призвание».
Отделение хирургического лечения патологии сосудов головного мозга, все сотрудники НИИ нейрохирургии им. акад. Н.Н. Бурденко и редакционная коллегия журнала «Вопросы нейрохирургии» сердечно поздравляют Шалву Шалвовича Элиава с 60-летним юбилеем и желают ему крепкого здоровья и новых творческих свершений.